PELUANG
Standar Kompetensi : Peluang
Kompetensi Dasar : Memecahkan masalah yang berhubungan
dengan teori peluang
A.
KAIDAH
PENCACAHAN PERMUTASI DAN KOMBINASI
1.
Kaidah
Pencacahan /Kaidah Dasar Membilang
Contoh 1:
Berapa banyaknya cara menyusun bilangan ganjil yang terdiri
atas 4 angka!
Jawab:
Contoh 2:
Berapa banyaknya cara menyusun bilangan genap yang terdiri
atas 4 angka yang kurang dari 5000?
Contoh 3:
Diketahui angka-angka: 2, 3, 4, 5, 6, 7. Dari angka-angka itu
akan disusun bilangan ganjil yang terdiri atas 4 angka. Jika dalam susunan
bilangan itu tidak ada angka yang berulang, tentukan banyaknya susunan bilangan
tersebut!
Latihan 1:
1. Dari
Purworejo ke Cirebon ada 2 jalan, dari Cirebon ke Jakarta ada 3 jalan. Ada
berapa kemungkinan jalan yang dapat ditempuh dari Purwerojo ke Jakarta jika
harus melalui Cirebon?
2. Suatu
rute penerbangan dari Surabaya ke Jakarta ada 2 jalan dari Jakarta ke Medan ada
2 jalan dan dari Medan ke Jeddah ada 3 jalan. Ada berapa kemungkinan jalan yang
dapat ditempuh dari:
a. Surabaya
ke Medan melalui Jakarta
b. Jakarta
ke Jeddah melalui Medan
c. Surabaya
ke Jeddah melalui Jakarta dan Medan
3. Dari
angka-angka 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8 akan di susun suatu bilangan genap yang terdiri
atas 3 angka. Jika dalam susunan bilangan itu tidak ada angka yang berulang,
berapa banyak nya cara untuk menyusun bilangan itu!
4. Dari
angka-angka 3, 4, 5, 6, 7 akan di susun suatu bilangan ganjil yang terdiri atas
3 angka:
a. Berapa
bayaknya susunan bilangan itu
b. Berapa
banyaknya susunan bilangan yang lebih dari 400
c. Berapa
banyaknya susunan bilangan itu jika tidak ada angka yang berulang?
d. Berapa
banyaknya susunan bilangan itu jika tidak ada angka yang berulang dan kurang
dari 700?
22
Permutasi
Permutasi adalah menyusun suatu unsure dalam suatu himpunan
dengan susunan yang berlainan (tidak ada yang berulang)
a. Permutasi
n unsur yang disusun r per r
Misalnya diketahui n
unsure berbeda. Banyaknya permutasi n unsure yag di susun r per r dirumuskan
sebagai berikut:
n
n! = n factorial
n! = n x (n – 1) x (n – 2) x …… x 3 x 2 x 1
1! = 1
0! = 1
Contoh
4:
1) Diketahui
angka-angka : 2, 3, 4. Susunlah bilangan yang terdiri atas 3 angka dengan
syarat tidak ada angka yang berulang!
2) Berapakah
banyaknya bilangan yang terdiri dari 4 angka berbeda yang dapat disusun dari
angka–angka : 2, 3, 4, 5, 6, 7!
b. Permutasi
dengan unsur yang sama
Jika dalam permutasi n unsure yang disusun r per r
terdapat k buah unsure yag sama, banyaknya permutasi yang berlainan dapat
ditentukan dengan rumus:
P =
Jika
terdapat k, l, m buah unsure yang sama , rumus:
P =
Contoh
5:
1)
Berapakah banyaknya permutasi yang dapat disusun
3 huruf dari kata MATEMATIKA!
2)
Berapa banyaknya cara susunan duduk dari 4 orang
untuk menempati 4 kursi pada suatu meja bundar!
Latihan
2
1. Hitunglah
nilai dari:
a. 7! b. 4! c. 3! d.
7! – 4! e. (7-4)!
2. Hitunglah
nilai dari :
a.
c.
e.
g.
b.
d.
f.
h.
3. Ada
berapa permutasi yang berlainan dari 4 angka yang disusun dari angka-angka: 2,
3, 4, 5!
4. Berapakah
banyaknya cara memasang 7 bendera pada 7 tiang yang diasang satu baris?
5. Berapakah
banyaknya cara susunan duduk dari 6 orang untuk menempati 6 buah kursi pada
suatu meja bundar?
6. Dari
angka-angka : 4, 5, 6, 7, 8, 9 akan disusun bilangan yang terdiri atas 3 angka
yang berbeda. Berapa banyaknya bilangan yang terjadi?
7. Dari
10 orang akan dipilih 3 orang untuk jabatan: ketua, sekretaris, bendahara. Ada
berapa cara pemilihan tersebut?
8. Berapa
banyaknya permutasi yag berlainan yang disusun 3 – 3 dari:
a. JAKARTA
b. BOGOR
c. TANGGERANG
d. BEKASI
e. KEBUMEN
3.
Kombinasi
Kombinasi adalah suatu permutasi yang tidak emperhatikan
urutan (artinya ab dan ba dianggap sama)
Banyaknya
kombinasi dari r unsure yang diambil dari n unsure yang berlainan dirumuskan:
n
Contoh
6:
1)
Tentukan banyaknya kombinasi 2 warna campuran
dari warna-warna merah, kuning, hijau, dan putih!
Jawab:
2)
Dalam sebuah kantong terdapat 10 kelereng merah,
8 kelereng kuning dan 6 kelereng hijau. Aakan diambil 3 kelereng merah, 2
kelereng kuning, dan 1 kelereng hijau. Ada berapa cara pengambilan
kelereng tersebut!
Jawab:
Latihan 4
1)
Hitunglah nilai dari:
a. 2C1 b. 4C3 c. 5C1 d.
6C1 e. 4C2 f. 5C2
2)
Berapa banyaknya kombinasi dari 4 unsur yang
diambil dari 10 unsur?
3)
Akan dipilih 3 orang pengurus anggota Pramuka
dari 10 orang calon pengurus. Ada berapa cara pemilihan tersebut?
4)
Dalam satu kantong terdapat 12 kelereng putih,
10 kelereng biru dan 8 kelereng coklat. Dari kantong itu akan diambil 6
kelereng. Ada berapa cara yan terambil itu:
a. 2
kelereng biru dan 4 kelereng coklat
b. 3
kelereng putih dan 3 kelereng biru
c. 4
kelereng coklat dan 2 kelereng putih
d. 5
kelereng putih dan 1 kelereng biru
e. 1
kelereng putih, 2 kelereng biru dan 3 kelereng coklat
5)
Dari 8 warna berlainan akan diambil 3 warna
untuk membuat satu warna tertentu. Ada berepa warna tertentu yang dapat dibuat?
B.
PELUANG
SUATU KEJADIAN
1.
Peluang suatu kejadian
Misalkan A adalah suatu kejadian dalam suatu percobaan. Kejadian A
dapat terjadi dengan a cara dari keseluruhan S cara yang mungkin dapat terjadi
dengan keungkinan yang sama.
Ket: n(A) = banyaknya
kemungkinan yang diinginkan
n(S) = banyaknya kemungkinan yang
terjadi
2.
Kemustahilan dan kepastian
Peluang kepastian dalam matematika adalah 1. P(A) =1
Peluang
terjadinya bukan A = 1- P(A)
Contoh
7:
1)
Dalam sebuah kantong terdapat 20 butir kelereng
berwarna merah. Jika akan diambil sebuah kelereng, tentukan peluang terambilnya
kelereng berwarna:
a. Putih b. merah
Jawab:
2)
Dalam sebuah kolam pemancingan terdapat 20 ikan
lele, 15 ikan gurame dan 15 ikan tawes. Jika abah memancing dalam kolam itu,
berapa peluang abah akan mendapatkan:
a. 1
ikan lele d. 2 ikan
lele
b. 1
ikan gurame e. 3 ikan gurame
c. 1
ikan tawes f. 1 ikan lele, 1
ikan gurame dan 1 ikan tawes
Jawab:
3)
Dari satu kartu bridge diambil 2 buah kartu
secara acak, tentukan peluang bahwa yang terambil:
a. 1
kartu as dan 1 kartu king
b. 1
kartu bernomor 2 dan 1 kartu bernomor 10
c. 1
kartu diamond
d. 2
kartu skop
Jawab:
4)
Dua buah dadu dilempar undi sekali. Tetukan
peluang munculnya jumlah angka kedua dadu itu
a. 4 b. 7
Jawab:
3.
Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Rumus:
F(h) = k x P(A)
Contoh
8:
1)
Suatu percobaan lempar undi sebuah dadu sebanyak
180 kali. Berapakah frekuensi harapan muncul angka prima?
Jawab:
2)
Dua buah mata uang logam yang dilempar undi
sebanyak 60 kali. Tentukanlah :
a. Ruang
sampelnya
b. Peluang
muncul 2 angka
c. Frekuensi
harapan muncul 2 angka
Jawab:
3)
Tiga buah mata uang logam yang dilempar undi
secara serentak sebanyak 120 kali. Tentukanlah:
a. Ruang
sampelnya
b. Peluang
muncul 2 gambar
c. Frekuensi
harapan muncul 2 gambar
Jawab:
Latihan 6
1.
Dari seperangkat kartu bridge (26 kartu merah
dan 26 kartu hitam) diambil sebuah kartu secara acak. Berapa peluang yang
terambil itu kartu:
a. Berwarna
merah c. bernomor 3
b. King d.
as
2.
Diantara bilangan-bilangan 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9 akan diambil sebuah bilangan secara acak. Tentukan peluang bahwa yang
terambil itu:
a. Bilangan
genap c. bilangan ganjil
b. Bilangan
prima d. bilangan prima
ganjil
3.
Didalam sebuah kotak terdapat 6 kelereng putih,
8 kelereng biru, dan 4 kelereng coklat. Jika diambil sebuah kelereng secara
acak, tentukan peluang yang terambil itu kelereng berwarna :
a. Putih b. biru c. coklat
4.
Tiga mata uang logam yang dilempar undi sekali.
Tentukan peluang munculnya :
a. Ketiga-tiganya
angka
b. 2
angka dan 1 gambar
c. 1
angka dan 2 gambar
d. Ketiga-tiganya
gambar
5.
Dua buah dadu dilempar undi sekali. Tentukan
peluang munculnya :
a. 5 b. 6 c. 9 d. 12
6.
Dari satu set kartu bridge diambil 3 buah kartu
secara acak. Tentukan peluang yang terambil it:
a. Tiga
kartu berwarna merah
b. Satu
kartu bernomor 7 dan dua kartu bernomor 2
c. Dua
kartu skop dan satu kartu as
d. Tiga
kartu bernomor 5
7.
Sebuah dadu dilempar undi sebanyak 90 kali.
Tentukan frekuensi harapan munculnya angka:
a. 2 b. ganjil c. prima
8.
Dua buah dadu dilempar undi sebanyak 216 kali.
Tentukan frekuensi harapan munculnya jumlah angka kedua dadu itu:
a. 3 b. 5 c. 8 d.
11
4.
Peluang Kejadian Saling Lepas
Misalnya A dan B adalah
dua kejadian saling lepas, besarnya peluang dua kejadian A atau B dapat
ditentukan dengan rumus:
P(A atau B) = P(A U B) = P(A) + P(B)
Contoh 9:
1) Sebuah
dadu dilempar undi sekali. Tentukan peluang munculnya:
a. Angka
2 atau angka 1
b. Angka
ganjil atau angka
Jawab:
2) Dua
buah dadu dilempar undi sekali. Tentukan peluang munculnya jumlah angka kedua
dadu itu:
a. 3
atau 5
b. 2
atau 3 atau 4
Jawab:
5.
Peluang kejadian Saling Bebas
Misalnya A dan B dua
kejadian saling bebas, peluang kejadan A dan B ditentukan dengan rumus ;
P(A dan B) = P(A ∩ B) = P(A) x P(B)
Contoh 10:
1) Sebuah
mata uang logam dan sebuah dadu dilempar undi serentak sekali. Tentukanlah :
a. Ruang
sampelnya
b. Peluang
munculnya gambar dan 5
Jawab:
2) Dua
buah dadu 1 merah dan 1 putih dilempar undi serentak satu kali. Tentukanlah:
a. Ruang
sampelnya c.
peluang munclnya angka 5 merah
b. Peluang
muncul angka 3 putih d. peluang
muncul angka 3 putih dan angka 5 merah
Jawab:
3) Kotak
I berisi4 bola hitam dan 6 bola putih, kotak II berisi 5 bola merah dan 4 bola
putih. Dari kotak I diambil 3 bola dari kotak II diambil 4 bola. Tentukan
peluang yang terambil tu:
a. 3
bola hitam dari kotak I dan 4 bola merah dari kotak II
b. 3
bola putih dari kotak I dan 4 bola merah dari kotak II
c. 2
bola hitam dari kotak I dan 3 bola putih dari kotak II
d. 2
bola putih dari kotak I dan 3 bola putih dari kotak II
Jawab:
6.
Peluang Kejadian Tak Bebas
Misalnya A dan B dua kejadian yang tak bebas artinya
kejadian B berlangsung setelah kejadian A, maka peluang kejadian A dan B
ditentukan dengan rumus:
P(A DAN B/A) = P(A ∩ B/A) = P(A) x P(B/A)
Contoh 11:
Didalam sebuah kantong tedapat 6 kelereng merah dan 4
kelereng putih. Diambil 2 kelereng satu demi satu tanpa pengembalian. Tentukan
peluang yang terambil berturut-turut kelereng berwarna:
a. Merah
dan merah c.
putih dan merah
b. Merah
dan putih d.
putih an putih
Jawab:
Latihan 7
1.
Sebuah dadu dilempar undi sekali. Tentukan
peluang munculnya
a. Angka
ganjil atau 6
b. Angka
prima atau 1
2.
Dari 15 kartu yang diberi nomor 1 sampai dengan
15, akan diambil sebuah kartu secara acak. Tentukan peluang yang diambil kartu
bernomor:
a. Genap
atau 13 c.
ganjil atau genap
b. Prima
atau 15
3.
Dari satu set kartu bridge diambil sebuah kartu
secara acak. Tentukan peluang terambilnya kartu:
a. Bernomor
3 atau as
b. Bernomor
5 atau king
c. Bernomor
8 atau queen
d. Bernomor
prima aau joung
4.
Dua buah dadu dilempar undi sekali. Tentukan
peluang munculnya jumlah angka kedua dadu itu:
a. 3
atau 8 c. 2 atau 3
atau 5
b. 5
atau 6 d. 3 atau 4
atau 7
5.
Tiga mata uang logam dilempar undi sekali secara
serentak. Tentukan besar peluang munculnya:
a. 3
gambar atau 3 angka c.
3 angka atau 2 gambar
b. 2
gambar atau 2 angka d.
2 angka atau 3 gambar
6.
Sebuah dadu dan sebuah mata uang logam dilempar
undi sekali secara serentak. Tentukan peluang munculnya:
a. 3
dan A c.
2 dan A
b. 5
dan G d.
4 dan G
7.
Dua buah dadu 1 merah dan 1 putih dilempar undi
sekali secara serentak. Tentukan peluang munculnya :
a. 2
M dan 1P c.
4M dan 6P
b. 3M
dan 5P d.
5M dan 2P
8.
Kotak I berisi 5 bola merah dan 4 bola putih.,
kotak II berisi 3 bola merah dan 5 bola putih. Dari masing-masing kotak diambil
sebuah bola. Tentukan peluang yang terambil dari kotak I dan Kotak II itu bola
berwarna:
a. Merah
dan putih c. merah
dan merah
b. Putih
dan merah d. putih dan
putih
9.
Didalam sebuah kotak terdapat 7 bola putih Dan 3
bola hitam. Diambil 2 bola satu demi satu tanpa pengembalian. Tentukan peluang
yang terambil pertama dan kedua bola berwarna :
a. Putih
dan putih c. merah
da merah
b. Putih
dan hitam d. hitam dan putih
10.
Kotak I berisi 3 bola merah dan 7 bola putih, Kotak II berisi 5 bola merah dan
4 bola putih. Diambil 2 bola dari kotak I dan 3 bola dari kotak II. Tentukan
peluang yang terambil itu dari kotak I dan kotak II berturut-turut:
a. 2M
dan 3M c.
1M dan 2P
b. 2P
dan 3P d.
1P dan 2M
