Materi Peluang

PELUANG

Standar Kompetensi : Peluang

Kompetensi Dasar     : Memecahkan masalah yang berhubungan dengan teori peluang

 

A.        KAIDAH PENCACAHAN PERMUTASI DAN KOMBINASI

1.   

    Kaidah Pencacahan /Kaidah Dasar Membilang

Contoh 1:

 

Berapa banyaknya cara menyusun bilangan ganjil yang terdiri atas 4 angka!

Jawab:

Contoh 2:

Berapa banyaknya cara menyusun bilangan genap yang terdiri atas 4 angka yang kurang dari 5000?

Contoh 3:

Diketahui angka-angka: 2, 3, 4, 5, 6, 7. Dari angka-angka itu akan disusun bilangan ganjil yang terdiri atas 4 angka. Jika dalam susunan bilangan itu tidak ada angka yang berulang, tentukan banyaknya susunan bilangan tersebut!

Latihan 1:

1.       Dari Purworejo ke Cirebon ada 2 jalan, dari Cirebon ke Jakarta ada 3 jalan. Ada berapa kemungkinan jalan yang dapat ditempuh dari Purwerojo ke Jakarta jika harus melalui Cirebon?

 

2.       Suatu rute penerbangan dari Surabaya ke Jakarta ada 2 jalan dari Jakarta ke Medan ada 2 jalan dan dari Medan ke Jeddah ada 3 jalan. Ada berapa kemungkinan jalan yang dapat ditempuh dari:

a.       Surabaya ke Medan melalui Jakarta

b.      Jakarta ke Jeddah melalui Medan

c.       Surabaya ke Jeddah melalui Jakarta dan Medan

 

3.       Dari angka-angka 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8 akan di susun suatu bilangan genap yang terdiri atas 3 angka. Jika dalam susunan bilangan itu tidak ada angka yang berulang, berapa banyak nya cara untuk menyusun bilangan itu!

 

4.       Dari angka-angka 3, 4, 5, 6, 7 akan di susun suatu bilangan ganjil yang terdiri atas 3 angka:

a.       Berapa bayaknya susunan bilangan itu

b.      Berapa banyaknya susunan bilangan yang lebih dari 400

c.       Berapa banyaknya susunan bilangan itu jika tidak ada angka yang berulang?

d.      Berapa banyaknya susunan bilangan itu jika tidak ada angka yang berulang dan kurang dari 700?

22    Permutasi

 

Permutasi adalah menyusun suatu unsure dalam suatu himpunan dengan susunan yang berlainan (tidak ada yang berulang)

 

a.      Permutasi n unsur yang disusun r per r

Misalnya diketahui n unsure berbeda. Banyaknya permutasi n unsure yag di susun r per r dirumuskan sebagai berikut:

          n

n! = n factorial

n! = n x (n – 1) x (n – 2) x …… x 3 x 2 x 1

1! = 1

0! = 1

Contoh 4:

1)      Diketahui angka-angka : 2, 3, 4. Susunlah bilangan yang terdiri atas 3 angka dengan syarat tidak ada angka yang berulang!

2)      Berapakah banyaknya bilangan yang terdiri dari 4 angka berbeda yang dapat disusun dari angka–angka : 2, 3, 4, 5, 6, 7!

b.      Permutasi dengan unsur  yang sama

Jika dalam permutasi n unsure yang disusun r per r terdapat k buah unsure yag sama, banyaknya permutasi yang berlainan dapat ditentukan dengan rumus:

          P =

Jika terdapat k, l, m buah unsure yang sama , rumus:

P =

Contoh 5:

1)      Berapakah banyaknya permutasi yang dapat disusun 3 huruf dari kata MATEMATIKA!

2)      Berapa banyaknya cara susunan duduk dari 4 orang untuk menempati 4 kursi pada suatu meja bundar!

Latihan 2

1.       Hitunglah nilai dari:

a.       7!            b. 4!                       c. 3!                        d. 7! – 4!              e.  (7-4)!

2.       Hitunglah nilai dari :

a.                                c.                     e.                     g.

b.                               d.                     f.                      h.

3.       Ada berapa permutasi yang berlainan dari 4 angka yang disusun dari angka-angka: 2, 3, 4, 5!

4.       Berapakah banyaknya cara memasang 7 bendera pada 7 tiang yang diasang satu baris?

5.       Berapakah banyaknya cara susunan duduk dari 6 orang untuk menempati 6 buah kursi pada suatu meja bundar?

6.       Dari angka-angka : 4, 5, 6, 7, 8, 9 akan disusun bilangan yang terdiri atas 3 angka yang berbeda. Berapa banyaknya bilangan yang terjadi?

7.       Dari 10 orang akan dipilih 3 orang untuk jabatan: ketua, sekretaris, bendahara. Ada berapa cara pemilihan tersebut?

8.       Berapa banyaknya permutasi yag berlainan yang disusun 3 – 3 dari:

a.       JAKARTA

b.      BOGOR

c.       TANGGERANG

d.      BEKASI

e.      KEBUMEN

3.         Kombinasi

 

Kombinasi adalah suatu permutasi yang tidak emperhatikan urutan (artinya ab dan ba dianggap sama)

Banyaknya kombinasi dari r unsure yang diambil dari n unsure yang berlainan dirumuskan:

          n

Contoh 6:

1)      Tentukan banyaknya kombinasi 2 warna campuran dari warna-warna merah, kuning, hijau, dan putih!

Jawab:

2)      Dalam sebuah kantong terdapat 10 kelereng merah, 8 kelereng kuning dan 6 kelereng hijau. Aakan diambil 3 kelereng merah, 2 kelereng kuning, dan 1 kelereng hijau. Ada berapa cara pengambilan kelereng  tersebut!

Jawab:

Latihan 4

1)      Hitunglah nilai dari:

a.       2C1                 b. 4C3                    c. 5C1                    d. 6C1                    e. 4C2                    f. 5C2

2)      Berapa banyaknya kombinasi dari 4 unsur yang diambil dari 10 unsur?

3)      Akan dipilih 3 orang pengurus anggota Pramuka dari 10 orang calon pengurus. Ada berapa cara pemilihan tersebut?

4)      Dalam satu kantong terdapat 12 kelereng putih, 10 kelereng biru dan 8 kelereng coklat. Dari kantong itu akan diambil 6 kelereng. Ada berapa cara yan terambil itu:

a.       2 kelereng biru dan 4 kelereng coklat

b.      3 kelereng putih dan 3 kelereng biru

c.       4 kelereng coklat  dan 2 kelereng putih

d.      5 kelereng putih dan 1 kelereng biru

e.      1 kelereng putih, 2 kelereng biru dan 3 kelereng coklat

5)      Dari 8 warna berlainan akan diambil 3 warna untuk membuat satu warna tertentu. Ada berepa warna tertentu yang dapat dibuat?

B.        PELUANG SUATU KEJADIAN

1.       Peluang suatu kejadian

Misalkan A adalah suatu kejadian dalam suatu percobaan. Kejadian A dapat terjadi dengan a cara dari keseluruhan S cara yang mungkin dapat terjadi dengan keungkinan yang sama.

 

                Ket: n(A) = banyaknya kemungkinan yang diinginkan

                        n(S) = banyaknya kemungkinan yang terjadi

2.       Kemustahilan dan kepastian

Peluang kepastian dalam matematika adalah 1. P(A) =1

Peluang terjadinya bukan A = 1- P(A)

Contoh 7:

1)      Dalam sebuah kantong terdapat 20 butir kelereng berwarna merah. Jika akan diambil sebuah kelereng, tentukan peluang terambilnya kelereng berwarna:

a.       Putih                             b. merah

Jawab:

2)      Dalam sebuah kolam pemancingan terdapat 20 ikan lele, 15 ikan gurame dan 15 ikan tawes. Jika abah memancing dalam kolam itu, berapa peluang abah akan mendapatkan:

a.       1 ikan lele                    d. 2 ikan lele

b.      1 ikan gurame            e. 3 ikan gurame

c.       1 ikan tawes               f. 1 ikan lele, 1 ikan gurame dan 1 ikan tawes

Jawab:

3)      Dari satu kartu bridge diambil 2 buah kartu secara acak, tentukan peluang bahwa yang terambil:

a.       1 kartu as dan 1 kartu king

b.      1 kartu bernomor 2 dan 1 kartu bernomor 10

c.       1 kartu diamond

d.      2 kartu skop

Jawab:

4)      Dua buah dadu dilempar undi sekali. Tetukan peluang munculnya jumlah angka kedua dadu itu

a.       4                      b. 7

Jawab:

3.       Frekuensi Harapan Suatu Kejadian

Rumus:

F(h) = k x P(A)

Contoh 8:

1)      Suatu percobaan lempar undi sebuah dadu sebanyak 180 kali. Berapakah frekuensi harapan muncul angka prima?

Jawab:

2)      Dua buah mata uang logam yang dilempar undi sebanyak 60 kali. Tentukanlah :

a.       Ruang sampelnya

b.      Peluang muncul 2 angka

c.       Frekuensi harapan muncul 2 angka

Jawab:

3)      Tiga buah mata uang logam yang dilempar undi secara serentak sebanyak 120 kali. Tentukanlah:

a.       Ruang sampelnya

b.      Peluang muncul 2 gambar

c.       Frekuensi harapan muncul 2 gambar

Jawab:

Latihan 6

1.       Dari seperangkat kartu bridge (26 kartu merah dan 26 kartu hitam) diambil sebuah kartu secara acak. Berapa peluang yang terambil itu kartu:

a.       Berwarna merah                      c. bernomor 3

b.      King                                               d. as

2.       Diantara bilangan-bilangan 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 akan diambil sebuah bilangan secara acak. Tentukan peluang bahwa yang terambil itu:

a.       Bilangan genap         c. bilangan ganjil

b.      Bilangan prima          d. bilangan prima ganjil 

3.       Didalam sebuah kotak terdapat 6 kelereng putih, 8 kelereng biru, dan 4 kelereng coklat. Jika diambil sebuah kelereng secara acak, tentukan peluang yang terambil itu kelereng berwarna :

a.       Putih             b. biru                   c. coklat

4.       Tiga mata uang logam yang dilempar undi sekali. Tentukan peluang munculnya :

a.       Ketiga-tiganya angka

b.      2 angka dan 1 gambar

c.       1 angka dan 2 gambar

d.      Ketiga-tiganya gambar

5.       Dua buah dadu dilempar undi sekali. Tentukan peluang munculnya :

a.       5                      b. 6                         c. 9                         d. 12

6.       Dari satu set kartu bridge diambil 3 buah kartu secara acak. Tentukan peluang yang terambil it:

a.       Tiga kartu berwarna merah

b.      Satu kartu bernomor 7 dan dua kartu bernomor 2

c.       Dua kartu skop dan satu kartu as

d.      Tiga kartu bernomor 5

7.       Sebuah dadu dilempar undi sebanyak 90 kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya angka:

a.       2                      b. ganjil                                c. prima

8.       Dua buah dadu dilempar undi sebanyak 216 kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya jumlah angka kedua dadu itu:

a.       3                      b. 5         c. 8         d. 11

4.         Peluang Kejadian Saling Lepas

Misalnya A dan B adalah dua kejadian saling lepas, besarnya peluang dua kejadian A atau B dapat ditentukan dengan rumus:

P(A atau B) = P(A U B) = P(A) + P(B)

Contoh 9:

1)      Sebuah dadu dilempar undi sekali. Tentukan peluang munculnya:

a.       Angka 2 atau angka 1

b.      Angka ganjil  atau angka

Jawab:

2)      Dua buah dadu dilempar undi sekali. Tentukan peluang munculnya jumlah angka kedua dadu itu:

a.       3 atau 5

b.      2 atau 3 atau 4

Jawab: 

5.         Peluang kejadian Saling Bebas

Misalnya A dan B dua kejadian saling bebas, peluang kejadan A dan B ditentukan dengan rumus ;

P(A dan B) = P(A ∩ B) = P(A) x P(B)

Contoh 10:

1)      Sebuah mata uang logam dan sebuah dadu dilempar undi serentak sekali. Tentukanlah :

a.       Ruang sampelnya

b.      Peluang munculnya gambar dan 5

Jawab:

2)      Dua buah dadu 1 merah dan 1 putih dilempar undi serentak satu kali. Tentukanlah:

a.       Ruang sampelnya                                   c. peluang munclnya angka 5 merah

b.      Peluang muncul angka 3 putih          d. peluang muncul angka 3 putih dan angka 5 merah

Jawab:

3)      Kotak I berisi4 bola hitam dan 6 bola putih, kotak II berisi 5 bola merah dan 4 bola putih. Dari kotak I diambil 3 bola dari kotak II diambil 4 bola. Tentukan peluang yang terambil tu:

a.       3 bola hitam dari kotak I dan 4 bola merah dari kotak II

b.      3 bola putih dari kotak I dan 4 bola merah dari kotak II

c.       2 bola hitam dari kotak I dan 3 bola putih dari kotak II

d.      2 bola putih dari kotak I dan 3 bola putih dari kotak II

Jawab:

6.         Peluang Kejadian Tak Bebas

Misalnya A  dan B dua kejadian yang tak bebas artinya kejadian B berlangsung setelah kejadian A, maka peluang kejadian A dan B ditentukan dengan rumus:

P(A DAN B/A) = P(A ∩ B/A) = P(A) x P(B/A)

Contoh 11:

Didalam  sebuah kantong tedapat 6 kelereng merah dan 4 kelereng putih. Diambil 2 kelereng satu demi satu tanpa pengembalian. Tentukan peluang yang terambil berturut-turut kelereng berwarna:

a.       Merah dan merah                          c. putih dan merah

b.      Merah dan putih                             d. putih an putih

Jawab:

Latihan 7

1.       Sebuah dadu dilempar undi sekali. Tentukan peluang munculnya

a.       Angka ganjil atau 6

b.      Angka prima atau 1

2.       Dari 15 kartu yang diberi nomor 1 sampai dengan 15, akan diambil sebuah kartu secara acak. Tentukan peluang yang diambil kartu bernomor:

a.       Genap atau 13                           c. ganjil atau genap

b.      Prima atau 15

3.       Dari satu set kartu bridge diambil sebuah kartu secara acak. Tentukan peluang terambilnya kartu:

a.       Bernomor 3 atau as

b.      Bernomor 5 atau king

c.       Bernomor 8 atau queen

d.      Bernomor prima aau joung

4.       Dua buah dadu dilempar undi sekali. Tentukan peluang munculnya jumlah angka kedua dadu itu:

a.       3 atau 8                        c. 2 atau 3 atau 5

b.      5 atau 6                        d. 3 atau 4 atau 7

5.       Tiga mata uang logam dilempar undi sekali secara serentak. Tentukan besar peluang munculnya:

a.       3 gambar atau 3 angka                           c. 3 angka atau  2 gambar

b.      2 gambar atau 2 angka                           d. 2 angka atau 3 gambar

6.       Sebuah dadu dan sebuah mata uang logam dilempar undi sekali secara serentak. Tentukan peluang munculnya:

a.       3 dan A                                         c. 2 dan A

b.      5 dan G                                         d. 4 dan G

7.       Dua buah dadu 1 merah dan 1 putih dilempar undi sekali secara serentak. Tentukan peluang munculnya :

a.       2 M dan 1P                                  c. 4M dan 6P

b.      3M dan 5P                                   d. 5M dan 2P

8.       Kotak I berisi 5 bola merah dan 4 bola putih., kotak II berisi 3 bola merah dan 5 bola putih. Dari masing-masing kotak diambil sebuah bola. Tentukan peluang yang terambil dari kotak I dan Kotak II itu bola berwarna:

a.       Merah dan putih                      c. merah dan merah

b.      Putih dan merah                      d. putih dan putih

9.       Didalam sebuah kotak terdapat 7 bola putih Dan 3 bola hitam. Diambil 2 bola satu demi satu tanpa pengembalian. Tentukan peluang yang terambil pertama dan kedua bola berwarna :

a.       Putih dan putih                         c. merah da merah

b.      Putih dan hitam                        d.  hitam dan putih

10.   Kotak I berisi 3 bola merah dan 7  bola putih, Kotak II berisi 5 bola merah dan 4 bola putih. Diambil 2 bola dari kotak I dan 3 bola dari kotak II. Tentukan peluang yang terambil itu dari kotak I dan kotak II berturut-turut:

a.       2M dan 3M                                 c. 1M dan 2P

b.      2P dan 3P                                    d. 1P dan 2M